Γεωμετρία A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου

Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε τις διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.

(Μονάδες 13)

β) Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ ώστε το τετράπλευρο

ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

Απάντηση:

α)

α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ΑΟ=ΟΓ και ΒΟ=ΟΔ ως ακτίνες του κύκλου. Οπότε

οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και άρα είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον, οι

διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες ως διάμετροι του κύκλου. Συνεπώς, το

παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.

β) Για να είναι το ορθογώνιο ΑΒΓΔ τετράγωνο, πρέπει ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=ΔΑ. Επειδή

ίσες χορδές αντιστοιχούν σε ίσα τόξα και ίσα τόξα σε ίσες επίκεντρες γωνίες,

πρέπει και

   

ΑΟΒ ΒΟΓ ΓΟΔ ΔΟΑ 90

= = = =

αφού αθροίζουν σε πλήρη γωνία.

Δηλαδή πρέπει οι διάμετροι

ΑΓ

και ΒΔ να τέμνονται κάθετα.

ΘΕΜΑ 5601