78 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες ΟΑ , ΟΓ και
εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ .
α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχοτομούνται.
(Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ.
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α) Επειδή
ΑΒ ΑΟ
⊥
και
ΟΓ ΑΟ
⊥
θα είναι και ΑΒ//ΟΓ (1). Ακόμα, ΑΒ=ΟΓ (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι το ΑΒΟΓ είναι παραλληλόγραμμο
αφού δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. Συνεπώς, οι
διαγώνιοί του ΑΟ και ΒΓ θα διχοτομούνται.
β) Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα,
0
ΑΓΟ 45
=
. Επειδή όμως
οι απέναντι γωνίες παραλληλόγραμμου είναι ίσες θα είναι και
0
ΟΒΑ 45
=
.
Τέλος, επειδή δύο διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλόγραμμου, ως εντός και
επί τ΄αυτά, είναι παραπληρωματικές θα είναι
0
0
0
0
ΓΑΒ 180 ΑΓΟ 180 45 135
= − = − =
.
Άρα, για τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ έχουμε
0
ΑΓΟ 45
=
,
0
ΟΒΑ 45
=
,
0
ΓΑΒ 135
=
και
0
ΓΟΒ 135
=
.
Γ
Α
Ο
Β
ΘΕΜΑ 5635
77