199 / 226
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου
δ) Η διακεντρική ευθεία είναι μεσοκάθετος της χορδής με άκρα τα σημεία
επαφής Β και Γ συνεπώς, είναι
⊥
ΒΓ ΑΔ
. Είναι όμως και
⊥
ΕΖ ΑΔ
οπότε ΒΓ//ΕΖ.
Έτσι το τετράπλευρο ΕΖΒΓ είναι τραπέζιο. Επιπλέον, ΕΓ=ΕΔ (4) ως εφαπτόμενα
τμήματα. Είναι όμως και ΖΔ=ΖΒ=ΔΕ (5). Από τις σχέσεις (4) και (5)
συμπεραίνουμε ότι τραπέζιο ΕΖΒΓ έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες
επομένως, είναι ισοσκελές.
Σε τρίγωνο
ΑΒΓ
οι διχοτόμοι των γωνιών
Β
και
Γ
τέμνονται στο Δ. Η εξωτερική
διχοτόμος της
Β
τέμνει την προέκταση της ΓΔ στο Ε. Δίνεται ότι
= =
0
ΑΒΕ 70 2ΓΕΒ
.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΒΕ είναι τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΒΕ είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α) Έχουμε διαδοχικά
= ⇔ = ⇔ =
εξ
0
0
0
εξ
B
ΑBE 70
70 B 140
2
Ε
Δ
Β
Α
Γ
ΘΕΜΑ 4765
198