198 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΟΓ έχει τις δύο απέναντι γωνίες του
παραπληρωματικές οπότε είναι εγγράψιμο.
Ακόμη, επειδή η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων
τμημάτων ΑΒ και ΑΓ είναι
= = =
0
0
ΒΑΓ 60
ΟΑΒ
30
2 2
.
Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΑ θα είναι
=
ΟΑ ΟΒ
2
άρα,
ΟΑ=2ΟΒ.
β) Η εφαπτομένη ΕΖ είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΔ. Άρα, στο τρίγωνο ΑΕΖ η ΑΔ
είναι διχοτόμος και ύψος επομένως, το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές με βάση
την ΕΖ οπότε θα είναι
=
ΑΕΖ ΑΖΕ
(1).
Στο τρίγωνο ΕΑΖ είναι
+ + = ⇔
(1)
0
ΕΑΖ ΑΕΖ ΑΖΕ 180
+ = ⇔
0
0
60 2ΑΖΕ 180
=
0
2ΑΖΕ 120
=
0
ΑΖΕ 60
Άρα, το τρίγωνο ΑΖΕ έχει όλες του τις γωνίες ίσες με 60
ο
άρα, είναι ισόπλευρο.
γ) Ισχύει ΖΒ=ΖΔ (2) ως εφαπτόμενα τμήματα.
Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΕΖ το ύψος ΑΔ είναι και διάμεσος επομένως,
= =
ΖΕ ΑΖ
ΖΔ
2 2
(3).
Από τις σχέσεις (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι
=
ΑΖ ΖΒ
2
άρα και 2ΖΒ = ΑΖ.
197