190 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ
και ΒΔ. Φέρνουμε την ΑΕ κάθετη στην διαγώνιο ΒΔ. Εάν Ζ είναι το συμμετρικό
του Α ως προς την διαγώνιο ΒΔ, τότε να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές
(Μονάδες 7)
β) ΖΓ=2ΟΕ
(Μονάδες 9)
γ) το ΒΔΖΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
Απάντηση:
α)
Αφού Ζ το συμμετρικό του Α ως προς την διαγώνιο ΒΔ είναι ΑΕ=ΕΖ. Άρα, στο
τρίγωνο ΑΔΖ η ΔΕ είναι διάμεσος και ύψος και το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές.
β) Στο τρίγωνο ΑΖΓ είναι
•
Ε μέσο της ΑΖ
•
Ο μέσο της ΑΓ επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
διχοτομούνται
Άρα,
=
ΖΓ
ΕΟ//
2
(1) οπότε και ΖΓ=2ΟΕ.
Α
Β
Δ
●
Ε
Ο
Ζ
Γ
●
ΘΕΜΑ 4653
189