172 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα,
=
ΑΒΕ ΒΑΔ
δηλαδή το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές με ΗΑ=ΗΒ.
β) Είναι
⊥
ΟΑ ΑΓ
επειδή η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής και
⊥
ΒΗ ΑΓ
αφού ΒΕ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Άρα,
ΟΑ//ΒΗ (1).
Επίσης,
⊥
ΟΒ ΒΓ
επειδή η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής και
⊥
ΑΗ ΒΓ
αφού ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Άρα,
ΟΒ//ΑΗ (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο ΟΒΗΑ έχει τις
απέναντι πλευρές του παράλληλες άρα, είναι παραλληλόγραμμο και επειδή
σύμφωνα με το ερώτημα α) έχει ΗΑ=ΗΒ, δηλαδή δύο διαδοχικές πλευρές του
ίσες, θα είναι και ρόμβος.
γ) Είναι
⊥
ΗΟ ΑΒ
(3)
επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και
⊥
ΓΟ ΑΒ
(4)
επειδή η διακεντρική ευθεία είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με
άκρα τα σημεία επαφής.
Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι ΗΟ//ΓΟ και επειδή έχουν κοινό
σημείο το Ο αναγκαστικά θα ταυτίζονται. Συνεπώς, τα σημεία Ο, Η, Γ είναι
συνευθειακά.
171