170 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επίσης, είναι ΑΒ//ΚΖ και ΑΖ//ΒΚ αφού ΑΛ//ΒΓ, δηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΚΖ
έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες άρα, είναι παραλληλόγραμμο οπότε
= ⇔ = ⇔ =
(1)
ΒΓ
ΑΛ
ΑΖ ΒΚ ΑΖ
ΑΖ
2
2
δηλαδή το Ζ είναι το μέσο της ΑΛ.
Άρα, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΛ η ΔΖ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην
υποτείνουσα ΑΛ οπότε ισχύει
= ⇔ = ⇔ =
(1)
ΑΛ
ΒΓ
ΔΖ
ΔΖ
ΒΓ 2ΔΖ
2
2
.
β) Από τη σχέση (1) έχουμε
ΖΛ//ΚΓ (2)
Επειδή όμως ΑΒ//ΓΔ και το τετράπλευρο ΑΒΚΖ είναι παραλληλόγραμμο με
ΑΒ//ΖΚ θα είναι και ΖΚ//ΔΓ οπότε και
ΖΚ//ΛΓ (3).
Από τις σχέσεις (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο ΖΚΓΛ έχει τις
απέναντι πλευρές του παράλληλες άρα, είναι παραλληλόγραμμο.
Επιπλέον, ισχύει
= ⇔ = ⇔ =
ΒΓ ΓΔ 2ΚΓ 2ΓΛ ΚΓ ΓΛ
δηλαδή το παραλληλόγραμμο ΖΚΓΛ έχει και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες άρα,
είναι ρόμβος.
γ) Επειδή το τετράπλευρο ΖΚΓΛ είναι ρόμβος είναι
= ⇔ =
ΑΛ
ΚΖ ΖΛ ΚΖ
2
δηλαδή στο τρίγωνο ΑΚΛ η διάμεσος ΚΖ ισούται με το μισό της πλευράς στην
οποία αντιστοιχεί άρα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
=
0
ΑΚΛ 90
.
169