168 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β) Η περίμετρος του τριγώνου ΑΔΗ είναι
= + +
Π ΑΔ ΔΗ ΑΗ
(1).
Όμως αφού το τετράπλευρο ΕΗΔΒ είναι παραλληλόγραμμο είναι ΔΗ=ΒΕ (2).
Ακόμη, ισχύει ΕΑ=ΕΓ και ΕΖ=ΕΗ δηλαδή οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΖΓΗ
διχοτομούνται άρα, το τετράπλευρο ΑΖΓΗ είναι παραλληλόγραμμο οπότε
ΑΗ=ΓΖ (3).
Επομένως, η σχέση (1) λόγω των σχέσεων (2) και (3) δίνει
= + +
Π ΑΔ ΒΕ ΓΖ
άρα, η
περίμετρος του τριγώνου ΑΔΗ είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του
τριγώνου ΑΒΓ.
γ) Επειδή Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ είναι
=
ΘΓ
ΘΖ
2
(4).
Στο τρίγωνο ΒΓΘ είναι
•
Δ μέσο της ΒΓ
•
ΔΚ//ΒΘ αφού ΔΗ//ΒΕ.
Άρα, το Κ θα είναι το μέσο της πλευράς ΘΓ οπότε
= =
ΘΓ
ΘΚ ΚΓ
2
(5).
Από τις σχέσεις (4) και (5) συμπεραίνουμε ότι ΘΖ=ΘΚ=ΚΓ δηλαδή ότι οι ευθείες
ΒΕ και ΔΗ τριχοτομούν το τμήμα ΖΓ.
Α
Κ
Θ
●
Β
●
Ζ
Ε
Η
Δ
Γ
167