159 / 226
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου
Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι
=
ΔΑΖ ΔΖΑ
Άρα, το τρίγωνο ΔΑΖ είναι ισοσκελές.
β) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι ΔΑ=ΔΖ και επειδή από την υπόθεση είναι
ΑΒ+ΓΔ=ΑΔ έχουμε τελικά ότι
ΑΒ+ΓΔ=ΔΖ
άρα,
= −
ΑΒ ΔΖ ΓΔ
(3).
Παρατηρούμε όμως ότι
ΔΓ+ΓΖ=ΔΖ
άρα, θα είναι και
= −
ΓΖ ΔΖ ΓΔ
(4).
Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι
ΑΒ=ΓΖ (5).
Επίσης, επειδή ΑΒ//ΓΔ είναι
=
ΑΒΓ ΒΓΖ
ως εντός εναλλάξ άρα και
=
ΑΒΕ ΕΓΖ
(6).
Συνεπώς, από τις σχέσεις (3), (5) και (6) και το κριτήριο (Γ-Π-Γ) συμπεραίνουμε
ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΕΓΖ είναι ίσα οπότε προκύπτει ότι και ΒΕ=ΕΓ δηλαδή ότι
το Ε είναι το μέσο της ΒΓ.
γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΔΖ με κορυφή το Δ, η ΔΕ είναι διάμεσος άρα, θα
είναι και διχοτόμος της γωνίας
Δ
του τριγώνου και του τραπεζίου.
158