136 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επιπλέον, επειδή Ζ μέσο της ΔΑ θα είναι
= ⇔
ΑΔ ΖΑ
2
= ⇔
2ΑΒ ΖΑ
2
=
ΖΑ ΑΒ
(3).
Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι
ΚΖ=ΖΑ=ΑΚ
δηλαδή ότι το τρίγωνο ΖΑΚ είναι ισόπλευρο οπότε
=
0
ΖΚΑ 60
(4).
Ακόμη, επειδή το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές με ΑΚ=ΑΒ θα είναι
=
ΑΒΚ ΑΚΒ
οπότε στο τρίγωνο ΑΒΚ είναι
+ + = ⇔
0
ΑΒΚ ΑΚΒ ΒΑΚ 180
+ = ⇔
0
0
2ΑΚΒ 120 180
= ⇔
0
2ΑΚΒ 60
=
0
ΑΚΒ 30
(5).
Όμως
= +
ΖΚΒ ΖΚΑ ΑΚΒ
Συνεπώς, λόγω των σχέσεων (4) και (5) έχουμε ότι
= + =
0
0
0
ΖΚΒ 60 30 90
.
δ) Τα τρίγωνα ΖΚΒ και ΔΑΚ είναι ίσα γιατί
•
= =
0
ΖΚΒ ΑΚΔ 90
•
ΚΖ=ΑΚ
•
ΒΖ=ΑΔ ως αθροίσματα ίσων τμημάτων.
Άρα, ΚΔ=ΚΒ οπότε το σημείο Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΒΔ.
135