100 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β)
Τα τρίγωνα ΑΔM και BΓM είναι ίσα γιατί
•
= =
0
ΑΔΜ ΒΓΜ 90
•
=
ΔΜΑ ΒΜΓ
ως κατακορυφήν.
•
AΜ=ΜB.
Επομένως, ΑΔ=ΒΓ.
Ακόμη, είναι
⊥
ΑΔ ε
και
⊥
ΒΓ ε
. Άρα, ΑΔ//ΒΓ.
Επομένως,
ΑΔ//=ΒΓ
οπότε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι παραλληλόγραμμο.
Επίσης, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΜ είναι ΔΜ<ΑΜ (1) και στο ορθογώνιο
τρίγωνο ΒΜΓ είναι ΜΓ<ΜΒ (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) με πρόσθεση κατά μέλη συμπεραίνουμε ότι
ΔΜ + ΜΓ < ΑΜ + ΜΒ
δηλαδή ότι
ΔΓ<ΑΒ.
Άρα, το παραλληλόγραμμο ΑΓΒΔ δεν έχει ίσες διαγωνίους άρα, δεν είναι
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Όμοια στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ είναι ΑΔ<ΑΓ άρα, το παραλληλόγραμμο
ΑΓΒΔ δεν έχει ίσες δύο διαδοχικές πλευρές άρα, δεν είναι και ρόμβος.
Τέλος, επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται τα μέσα Μ
και Ν των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα αναγκαστικά θα ταυτίζονται.
Α
Β
Γ
Δ
M
ε
99