98 / 234
97
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Β2.
Να αποδείξετε ότι
1
3
P(A')
3
4
£ £
,
όπου A
ʹ το συμπληρωματικό του A.
(Μονάδες 7)
Β3.
Αν
3
P(A ')
4
=
,
τότε να βρείτε τις πιθανότητες
( )
2
P
ω
,
( )
4
P
ω
,
(
) (
)
P A B B A
é - È - ù
ë
û
και
(
)
P A' B'
-
,
όπου Βʹ το συμπληρωματικό του Β.
(
Μονάδες 8
)
Απάντηση:
Β1.
Είναι:
·
( )
0
2
0
1
3 2
x 1
1 x x 1 1
P
ω lim
2
x x
æ ö
ç ÷
è ø
®-
+ + -
= -
=
+
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
x 1
2
2
2
x 1 2
2
x 1
x 1
2
2
2
x x 1 1 x x 1 1
1
lim
2
x x 1 x x 1 1
1
x x 1 1
lim
2 x x 1 x x 1 1
x x 1
1
1
1
1
lim
lim
.
2
2
4
x x 1 x x 1 1
x x x 1 1
®-
®-
®-
®-
+ + -
+ + +
= -
=
+
+ + +
+ + -
= -
=
+
+ + +
+
= -
= -
=
+
+ + +
+ + +
·
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με:
( )
( )
x
x
x
1
x 1 lnx 1
'
f ' x
lnx '
lnx
lnx '
lnx
.
3
3
3
3 3 x 3
+
æ
ö æ ö
=
= ×
+ ×
= ×
+ × =
ç
÷ ç ÷
è
ø è ø
Άρα, σύμφωνα με την εκφώνηση θα είναι:
( ) ( )
3
ln1 1 1
P
ω f ' 1
3 3
+
= =
=
.
Β2.
Είναι
{ }
2 3
A'
ω ,ω
=
. Επειδή
{ }
3
ω Α'
Í
, θα ισχύει:
( ) ( )
( )
3
1
P
ω P A'
P A'
3
£ Û £
Επιπλέον, θέλουμε να δείξουμε ότι:
3
3
1
P(A')
1 P(A)
P(A)
4
4
4
£ Û - £ Û ³
.
Πράγματι,
{ }
1
ω Α
Í
, άρα
( ) ( )
( )
1
1
P
ω P A
P A
4
£ Û £
.