104 / 234
103
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
x 2s 74 x 70
s 2
x s 68
ì
ü ì ü
+ =
=
ï
ï ï ï
Û í
ý í ý
=
- =
ï ï
ï
ï î þ
î
þ
Ο συντελεστής μεταβολής των κ παρατηρήσεων είναι τότε:
s 2 1 1
CV
70 35 10
x
= = = <
.
Άρα
,
το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
f x xlnx
κ
= +
,
x 0
>
,
όπου κ ακέραιος με
κ 1
>
και
την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο
( )
(
)
1, f 1
, η
οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού
E
, με
E 2
<
.
Δ1.
Να αποδείξετε ότι
κ 2
=
.
(
Μονάδες 5
)
Δ2.
Έστω
1 2
50
x ,x ,...,x
οι τετμημένες 50 σημείων της (ε)
των οποίων οι
αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή
y 31
=
.
α)
Να αποδείξετε ότι
x 30
=
(Μονάδες 2)
β)
Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι κάθε μία
από τις τετμημένες
1 2
20
x ,x ,...,x
αυξάνεται κατά 3, οι επόμενες 15
τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες
ελαττώνεται κατά
λ
Î
με
λ 0
>
.
Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι
ίση
με 31.
(
Μονάδες 4)
Δ3.
Αν
1
α β γ e
e
< < < <
με
α β γ
7
α β γ e
× × =
, τότε να βρείτε το εύρος R και τη
μέση τιμή των τιμών
( )
f
α
,
( )
f
β
,
( )
f
γ
,
( )
f e
,
1
f '
e
æ ö
ç ÷
è ø
, όπου
( )
f x xlnx 2
= +
.
(
Μονάδες 7
)
Δ4.
Θεωρούμε το δειγματικό χώρο
n
1 2
10
11
30
1
Ω t , n 1,2,3, ,30: 0 t t
t
t
t 1
e
ì
ü
= =
< < < < < < < < =
í
ý
î
þ
με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2013