108 / 234
107
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
(
)
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
α β γ
7
α β γ
7
α
β
γ
f
α
f
β
f γ
α β γ e ln α β γ lne lnα lnβ lnγ 7
αlnα βlnβ γlnγ 7 αlnα 2 βlnβ 2 γlnγ 2 13
f
α f β f γ 13 (1)
× × = Û × ×
= Û + + = Û
Û + + = Û + + + + + = Û
Û + + =
Τότε η μέση τιμή γίνεται:
( ) ( ) ( ) ( )
(1)
1
f '
f
α f β f γ f e
0 13 e 2 e 15
e
x
5
5
5
æ ö + + + +
ç ÷
+ + + +
è ø
=
=
=
Δ4.
Για το δειγματικό χώρο Ω είναι
( )
N
Ω 30
=
.
·
Για το ενδεχόμενο Α
:
Έστω ω η γωνία που σχηματίζει με
τον άξονα
x
’
x
η
εφαπτομένη της
f
C
στο σημείο
( )
(
)
t, f t
. Τότε:
π
ω 0,
2
æ ö
Î ç ÷
è ø
, άρα
( )
από
1
εφω 0 f ' t 0 t
e
> Û > Û >
Δ3
Δηλαδή το ενδεχόμενο Α είναι το
{
}
11 12 13 30
A t ,t ,t ...,t
=
. Τότε όμως είναι
( )
Ν Α 20
=
και η ζητούμενη πιθανότητα είναι η
( ) ( )
( )
Ν Α
20 2
P A
Ν Ω 30 3
= = =
.
·
Για το ενδεχόμενο Β
:
Έχουμε διαδοχικά για κάθε
t 0
>
:
( ) ( )
f t f ' t 1 tlnt 2
> + Û +
lnt 1 1
> + +
(
)
tlnt lnt 0 lnt t 1 0
Û - > Û - >
Θα λύσουμε την ανίσωση με πίνακα προσήμων. Έχουμε:
·
lnt 0 t 1
= Û =
·
lnx
lnt 0 lnt ln1 t 1
> Û > Û >
1
·
Ομοίως
( )
lnx
lnt 0 lnt ln1
t 0,1
< Û < Û Î
1
·
t 1 0
t 1
- = Û =
·
t 1 0 t 1
- > Û >
·
t 1 0 t 1
- < Û <
Επομένως ο πίνακας προσήμων έχει ως εξής:
t
0
1
+¥
t 1
-
-
+
lnt
-
+
(
)
t 1 lnt
- ×
+
+