93 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
92
Δίνεται η συνάρτηση
2
1 ln x
f(x)
x
+
=
,
x 0
>
.
Δ1.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι γνησίως φθίνουσα
.
(
Μονάδες 5
)
Δ2.
Έστω
( )
(
)
M x, f x
,
x 0
>
σημείο της γραφικής παράστασης της
f
.
Η
παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα yʹy τέμνει τον ημιάξονα
Ox στο σημείο
( )
K x,0
και
η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον
άξονα xʹx τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο
( )
(
)
Λ 0, f x
. Αν O είναι η
αρχή των αξόνων
,
να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου
παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο
,
όταν αυτό γίνει
τετράγωνο
.
(
Μονάδες 7
)
Δ3.
Έστω η ευθεία
ε: y λx β
= +
,
β 10
¹
,
η οποία είναι παράλληλη προς την
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο
( )
(
)
Σ 1, f 1
.
Θεωρούμε δέκα σημεία
(
)
i
i
x ,y
,
i 1,2,...,10
=
της ευθείας ε
,
τέτοια
ώστε οι τετμημένες τους
i
x
να έχουν μέση τιμή
x 10
=
και τυπική
απόκλιση
x
s 2
=
.
Να βρείτε για ποιες τιμές του β το δείγμα των τεταγμένων
i
y
των δέκα
σημείων είναι ομοιογενές
.
(
Μονάδες
8)
Δ4.
Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ισοπίθανα
απλά ενδεχόμενα
,
τέτοια ώστε
A
¹Æ
και
A B
Ç ¹Æ
,
τότε να
αποδείξετε ότι
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f P A f P A B 2f P A B
+ Ç ³
È
. (
Μονάδες 5
)
Απάντηση:
Δ1.
H f είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 lnx x 1 ln x
1 ln x ' x 1 ln x x '
'
1 ln x
x
f
΄(x)
x
x
x
lnx 1
2lnx 1 ln x ln x 2lnx 1
lnx 1
0
x
x
x
x
æ
ö - -
ç
÷
+ × - + ×
æ
ö
+
è
ø
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
-
- -
- +
- æ
ö
=
= -
= -
= -
£
ç
÷
è
ø
Είναι:
ΘΕΜΑ
Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 20
12