79 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
78
( )
( )
( )
:4
64
Ν Ω 72 64 4 N M 72 16 N M 18
< < Û < ×
< Û < <
Κι επειδή ο αριθμός
( )
N M
είναι φυσικός, προκύπτει ότι
( )
N M 17
=
. Τότε από
τη σχέση (1) είναι:
( )
( )
N
Ω 4 Ν Μ 4 17 68
= ×
= × =
.
Β2.
Είναι
:
·
A K M
Ω
È È =
και
(
)
( )
P A K M P
Ω 1
È È = =
(2),
·
Α Μ
Ç =Æ
,
A K
Ç =Æ
,
M K
Ç =Æ
, δηλαδή τα Α, Κ, Μ, είναι ανά δύο
ασυμβίβαστα.
Έτσι
,
η (
2)
από τον απλό προσθετικό νόμο
γράφεται
:
( )
( )
( )
P A P K P M 1
+ + =
, απ’
όπου έχουμε διαδοχικά:
( ) ( ) ( )
2
2
1
7
1
P A P K P M 1
4
λ 5λ 1 4λ 5λ 1 0 λ 1 ή λ
4
4
4
+ + = Û + - + = Û - + = Û =
=
·
Για
λ 1
=
προκύπτει
( )
P A 4
=
,
οπότε η τιμή
λ 1
=
απορρίπτεται διότι
( )
0 P A 1
£ £
.
·
Για
1
λ
4
=
προκύπτει
1
P(A)
4
=
,
1
P(K)
2
=
,
1
P(M)
4
=
. Άρα
,
η τιμή
1
λ
4
=
είναι
η ζητούμενη.
Β3.
Είναι:
·
1 N(M) 1
1
1
P(M)
N(M)
N(
Ω)
68 17
4 N(
Ω) 4
4
4
= Û = Û = ×
= × =
, άρα υπάρχουν 17
μαύρες σφαίρες.
·
1 N(A) 1
1
1
P(A)
N(A)
N(
Ω)
68 17
4 N(
Ω) 4
4
4
= Û = Û = ×
= × =
, δηλαδή υπάρχουν 17
άσπρες σφαίρες.
·
1 N(K) 1
1
1
P(K)
N(K) N(
Ω)
68 34
2 N(
Ω) 2
2
2
= Û = Û = = × =
, επομένως υπάρχουν 34
κόκκινες σφαίρες.
Β4.
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η
(
)
P A M
È
. Αφού τα ενδεχόμενα Α, Μ
είναι ασυμβίβαστα, από τον απλό προσθετικό νόμο θα έχουμε:
(
) ( ) ( )
1 1 1
P A M P A P M
0,5
4 4 2
È = + = + = =
ή
50%
.