82 / 234
81
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
1
11 2
x x
x
3
10 5
f x e
æ
ö
- +
ç
÷
è
ø
=
,
x
Î
Δ1.
Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
(
Μονάδες 8)
Δ2.
Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα
ενός δειγματικού χώρου Ω με
A B
Í
και
( ) ( )
P A , P B
είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f
να υπολογιστούν οι πιθανότητες
(
)
P A B
Ç
,
(
)
P A B
-
,
(
)
P A B
È
,
(
)
P B A
-
.
(
Μονάδες 8)
Δ3.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
1 3x
1
x
x
5 2 3
h x e
æ
ö
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
=
,
x
Î
α)
Να λυθεί η εξίσωση
( ) ( )
f x h x
=
.
(
Μονάδες 3)
β)
Aν
1 2 3
x x x
< <
οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και
i
i
ν 2x 1
= +
,
i 1,2,3
=
οι συχνότητες των παρατηρήσεων
i
x
τότε να βρείτε τη
μέση τιμή των παρατηρήσεων
.
(
Μονάδες 6
)
Απάντηση:
Δ1.
Η συνάρτηση
f
παραγωγίζεται στο
με:
( )
( )
( )
( )
2
2
1
11 2
1
11 2
x x
x
x x
x
2
3
10 5
3
10 5
3
2
2
2
1
11 2
'
'
f ' x e
e
x x
x
3
10 5
x 11 2x
x
11 2
f x
x
' f x 3 2 x
3 30 15
3 30 15
11 2
f x x
x
, x
15 15
æ
ö
æ
ö
- +
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
é
ù
é
ù
æ
ö
=
=
×
- + =
ê
ú
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
ê
ú
ë
û
æ
ö
æ
ö
= ×
- + = ×
- ×
+ =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
æ
ö
= ×
- +
Î
ç
÷
è
ø
Είναι:
·
( )
( )
2
2
11 2
11 2
f ' x 0 f x x
x
0 x
x
0
15 15
15 15
æ
ö
= Û ×
- + = Û - + =
ç
÷
è
ø
,
αφού
( )
f x 0
>
για κάθε
x
Î
. Η εξίσωση
2
11 2
x
x
0
15 15
- + =
γίνεται:
ΘΕΜΑ
Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 20
11