85 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
84
Α1.
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι
( ) ( )
(
)
( )
( )
f x g x ' f ' x g' x
+
= +
,
x
Î
.
(
Μονάδες 7
)
Α2.
Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό
ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α.
(
Μονάδες 4
)
Α3.
Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας
μιας μεταβλητής X, αν
x 0
>
και πώς, αν
x 0
<
;
(
Μονάδες 4
)
Α4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση, τη
λέξη
Σωστό
, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
Λάθος
, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α)
Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική
παράσταση ποσοτικών δεδομένων
.
(Μονάδες 2)
β)
Η παράγωγος της
f
στο
0
x
εκφράζει το ρυθμό
μεταβολής του
( )
y f x
=
ως προς
x
, όταν
0
x x
=
.
(Μονάδες 2)
γ)
Αν
A, B
ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με
A B
Í
, τότε
ισχύει ότι
( ) ( )
P A P B
>
.
(Μονάδες 2)
δ)
Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας
μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς
.
(Μονάδες 2)
ε)
0
0
x x
lim
ημx ημx
®
=
,
0
x
Î
.
(Μονάδες 2)
Απάντηση:
Α1.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( ) ( )
F x f x g x
= +
. Έχουμε:
(
) ( )
(
) (
)
(
)
( ) ( )
(
)
F x h F x f x h g x h f x g x
+ - = + + + - +
(
) ( )
(
)
(
) ( )
(
)
f x h f x g x h g x
= + - + + -
,
και για
h 0
¹
,
F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x)
h
h
h
+ -
+ -
+ -
=
+
.
Επομένως:
h 0
h 0
h 0
F(x h) F(x)
f(x h) f(x)
g(x h) g(x)
lim
lim
lim
f (x) g (x).
h
h
h
®
®
®
+ -
+ -
+ -
¢
¢
=
+
= +
Δηλαδή
,
αποδείξαμε ότι
( ) ( )
(
)
( )
( )
f x g x ' f ' x g' x
+
= +
.
Σχολικό βιβλίο, Σελ.
31.
ΘΕΜΑ Α
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 20
12