Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Γενικής Παιδείας)

67 / 234

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
66
Δίνεται η συνάρτηση 2 x
f(x) lnx λ 6λ 2, x 0
2
= - + - + > όπου λ ένας πραγματικός
αριθμός.
Α. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως
αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως
φθίνουσα. (Μονάδες 6)
β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα.
(Μονάδες 6)
Β. Θεωρούμε ότι οι τιμές της συνάρτησης ( )
f 2 , ( )
f 4 , ( )
f 8 , ( )
f 3 και
( )
f 5 είναι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ.
α. Αν R είναι το εύρος και δ η διάμεσος των παρατηρήσεων, να
δειχθεί ότι
1
R 3 ln
4
= + και 2
δ ln4 λ 6λ= + -
(Μονάδες 7)
β. Έστω ο δειγματικός χώρος { }
Ω 1,2,3,...,100= ο οποίος
αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Aν το λ παίρνει
τιμές στο δειγματικό χώρο Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα
του ενδεχομένου { }
A λ Ω | R δ 2 = Î + < - (Μονάδες 6)
Απάντηση:
Α. Θα κάνουμε πίνακα μεταβολών για τη συνάρτηση f.
α. Είναι: ( ) 2 x 1 1 2 x
'
f ' x lnx λ 6λ 2
2 x 2 2x
- æ ö
= - + - + = - =ç ÷
è ø
, με x 0> . Επιπλέον:
· ( ) 2 x
f ' x 0 0 2 x 0 x 2
2x
-
= Û = Û - = Û =
· ( ) 2x 0 2 x
f ' x 0 0 2 x 0 x 2
2x
> -
> Û > Û - > Û < . Όμως x 0> , άρα τελικά είναι
( )
f ' x 0> όταν ( )
x 0,2Î
· Όμοια: ( )
f ' x 0 x 2< Û > .
ΘΕΜΑ Δ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009