66 / 234
65
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β.
Να υπολογίσετε το όριο
2
x 1
f (x)
lim
x 1
΄
®
-
(Μονάδες 8)
γ.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η
οποία είναι παράλληλη στην ευθεία
y 3x
= -
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α.
Είναι
f
D
=
, ως πολυωνυμική, με:
·
( )
2
f ' x 3x 12x
α
= - +
,
x
Î
·
( )
f '' x 6x 12
= -
,
x
Î
.
Η δοθείσα σχέση γίνεται τότε:
( ) ( )
(
)
2
2
2f '' x f ' x 15 3x 2 6x 12 3x
+ + = Û ×
- +
2
12x
α 15 3x
- + + =
12x
Û
Û
24 12x
- -
α 15 0 α 9.
+ + = Û =
β.
Είναι για
α 9
=
:
·
( )
3
2
f x x 6x 9x 7
= - + -
,
x
Î
.
·
( )
2
f ' x 3x 12x 9
= - +
,
x
Î
.
Τότε:
(
)
0
2
0
2
2
x 1
x 1
x 1
3 x 1
f (x)
3x 12x 9
lim lim
lim
x 1
x 1
΄
® ®
®
-
- +
=
=
-
-
(
)
(
)
x 3
x 1
-
-
(
)
1 3
3
3.
1 1
x 1
-
= ×
= -
+
+
γ.
Έστω
( )
ε : y αx β
= +
η ζητούμενη εφαπτομένη στο σημείο
(
)
0 0
M x ,y
της
f
C
.
Τότε:
·
( )
2
0
0
0
α f ' x 3x 12x 9
= = - +
.
·
Η (ε) είναι παράλληλη στην
y 3x
= -
, άρα θα έχουν ίσους συντελεστές
διεύθυνσης:
(
)
2
2
2
0
0
0
0
0
0
α 3 3x 12x 9 3 x 4x 4 0 x 2 0 x 2
= - Û - + = - Û - + = Û - = Û =
·
Το σημείο επαφής είναι τότε το
( )
(
)
M 2, f 2
.
Όμως,
( )
f 2 5
= -
, άρα
είναι:
(
)
M 2, 5
-
.
·
Επιπλέον
,
( )
M
ε
Î
, συνεπώς:
0
0
y
α x β 5 3 2 β β 1
= × + Û- = - × + Û =
.
Άρα
,
η ζητούμενη ευθεία είναι η:
( )
ε : y 3x 1
= - +
.