59 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
58
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
x
x 1
f(x)
e
-
=
, όπου
x
πραγματικός αριθμός.
α.
Να υπολογίσετε το όριο
x
2
x 1
e f(x)
lim
x 1
®
-
.
(Μονάδες 7)
β.
Να αποδείξετε ότι
( )
x
e f ' x 2 x
= -
.
(Μονάδες 9)
γ.
Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
( )
f x
.
(Μονάδες 9)
Απάντηση:
α.
Είναι
f
D
=
. Για τον υπολογισμό του ορίου έχουμε:
( )
x
x
x
2
2
x
x 1
x 1
x 1
e
e
e
x 1
lim f x lim
lim
x 1
x 1 e
®
®
®
é
ù
æ
ö-
×
=
×
=
ç
÷
ê
ú
-
-
ë
û
è
ø
(
)
x 1
× -
(
)
x 1
-
(
)
x
x 1 e
+ ×
x 1
1 1
lim
x 1 2
®
=
=
+
.
β.
Είναι:
x
x
x
x
x
x
2x
2x
2x
x
x 1 (x 1) e
(x 1)(e ) e e (x 1) e (1 x 1) 2 x
'
f (x)
e
e
e
e
e
¢
¢
-
- - -
- -
- + -
æ
ö
¢ =
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
,
x
Î
.
Επομένως
ισχύει για κάθε
x
Î
:
( )
x
x
e f ' x e
×
=
x
2 x
e
-
×
2 x
= -
.
γ.
Έχουμε:
·
( )
x
2 x
f ' x 0
0 2 x 0 x 2
e
-
= Û = Û - = Û =
.
·
( )
x
e 0
x
2 x
f ' x 0
0 2 x 0 x 2
e
>
-
> Û > Û - > Û <
.
·
Όμοια:
( )
f ' x 0 x 2
< Û >
.
Ακολουθεί ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης
f:
x
2
-¥
+¥
( )
f ' x
+
-
f
1
>
Συνεπώς η συνάρτηση
f
παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο
x 2
=
, ίσο με
( )
2
1
f 2
e
=
.
ΘΕΜΑ Β
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 200
8
Ο.Μ.