54 / 234
53
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Η
f
είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε όλο το
με:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
'
f ' x xe 3 ' x' e x e e xe e f x 3 f x e 3
= + = × + ×
= + = + é - ù = + -
ë
û
Αφού
( )
( )
x
x
f x xe 3 xe f x 3
= + Û = -
.
β
.
Είναι:
( )
x
x
2
x 0
x 0
f x e
f (x) e
lim
lim
x x
®
®
+
¢ -
=
-
x
3 e
- -
x
2
x 0
xe 3
lim
x x
®
+
=
-
3
-
2
x x
-
x 0
x
lim
®
=
x
e
x
(
)
0
e 1
1
0 1 1
x 1
= = = -
- -
-
.
Έστω ο δειγματικός χώρος
{
}
Ω 1,0,1,2,3,4,5
= -
,
για τον οποίο ισχύει:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
P –1 P 0 P 1 P 2 2P 3 2
( )
P 4 2P 5
= = = = = =
.
Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω:
{
}
2
A 1, 3, x x 3
=
- -
,
{
}
2
B 2, x 1, 2x x 2, 2x 1
= +
+ - - +
όπου
x
ένας πραγματικός αριθμός.
α.
Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, δηλαδή οι:
P(
–
1), P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(5).
(
Μονάδες 7
)
β.
Να βρεθεί η μοναδική τιμή του
x
για την οποία ισχύει
{ }
A B 1,3
Ç = -
.
(
Μονάδες 8
)
γ.
Για
x 1
=-
να δειχθεί ότι:
( )
5
P A
11
=
,
( )
7
P B
11
=
,
(
)
3
P A B
11
Ç =
και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες
(
)
P A B
-
και
(
)
P A B'
È
.
(
Μονάδες 10
)
Απάντηση:
α.
Εφόσον
{
}
Ω 1,0,1,2,3,4,5
= -
, θα ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P 1 P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 1
- + + + + + + =
(1)
Έστω ότι
:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
P –1 P 0
P 1 P 2 2P 3
( )
λ
2P 4 2P 5
= = = =
= =
=
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 200
7