50 / 234
49
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Έστω η συνάρτηση
( )
2
f x 2x kx 4 x 10
= - + + +
,
x 0
³
.
α.
Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
( )
(
)
A 1, f 1
είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, να αποδείξετε ότι k = 2 και να
βρείτε την εξίσωσή της.
(
Μονάδες 5
)
β.
Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση
τιμή
( )
x f 1
=
και τυπική απόκλιση
( )
2f ' 4
s
13
= -
. Τρεις παρατηρήσεις,
αντιπροσωπευτικού δείγματος μεγέθους ν,
είναι μικρότερες ή ίσες του 8.
(i)
Να βρείτε τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο
διάστημα (10,16).
(
Μονάδες 10
)
(ii)
Να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί,
δεν είναι ομοιογενές.
Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παραμέτρου α > 0, που πρέπει να
προστεθεί σε κάθε μία από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, ώστε το
δείγμα των νέων παρατηρήσεων να είναι ομοιογενές.
(
Μονάδες 10
)
Απάντηση:
α.
Η συνάρτηση
2
f(x) 2x kx 4 x 10, x 0
= - + + + ³
είναι παραγωγίσιμη με
:
(
)
2
2
'
f
΄(x)
2x kx 4 x 10 4x k
x
= - + + + = - + +
, με
x 0
>
.
Επειδή η εφαπτομένη της
f
C
στο σημείο
( )
(
)
A 1, f 1
είναι παράλληλη στον
άξονα x΄x
,
προκύπτει
:
f
΄(1) 0 4 k 2 0 k 2
= Û- + + = Û =
.
Για
k 2
=
είναι
:
2
f(x) 2x 2x 4 x 10
= - + + +
με
x 0
³
.
Οπότε
,
f(1) = 14 και το σημείο Α(1, f(1)) είναι το Α(1,14).
Αφού τώρα η εφαπτομένη της
f
C
στο Α είναι οριζόντια, η εξίσωσή της είναι
:
y 14
=
.
β.
Είναι από την εκφώνηση:
·
( )
x f 1 x 14
= Û =
.
·
( )
2f ' 4
13
s
s 2
s 2
13
13
-
= -
Û = - ×
Û =
.
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 200
6