48 / 234
47
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β.
Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με
1
19
και ο όμιλος
περιλαμβάνει λιγότερα από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του
ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι.
(
Μονάδες 8
)
γ.
Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να
μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της
πιθανότητας αυτής;
(
Μονάδες 10
)
Απάντηση:
α.
Έστω Ω ο δειγματικός χώρος και Α το ενδεχόμενο να επιλεγεί αγόρι. Τότε:
·
( )
(
)
2
Ν Ω x x 4
= + +
·
( )
N A x
=
·
( ) ( )
( )
(
)
2
Ν Α
x
P A
Ν Ω
x x 4
= =
+ +
, με
x
Î
, μιας και το
x
εκφράζει πλήθος
αγοριών.
Επιπλέον
,
ισχύει:
(
)
(
)
( )
2
2
x
0 x x x 4 0
1 0 P A 1
x x 4
£ £ + + Û £
£ Û £ £
+ +
, άρα η
πιθανότητα είναι καλά ορισμένη.
β.
Είναι:
2
2
1
x
1
P(A)
x 10x 16 0 x 2
ή x 8
19 x (x 4) 19
= Û = Û - + = Û = =
+ +
. Έτσι:
·
Αν
x 8
=
τότε
(
)
(
)
2
N
Ω 8 8 4 152 100
= + + = >
, άρα η τιμή
x 8
=
απορρίπτεται.
·
Αν
x 2
=
τότε
( )
(
)
2
Ν Ω 2 2 4 38 100
= + + = <
, άρα η τιμή
x 2
=
είναι
δεκτή.
Αν Κ είναι το ενδεχόμενο να επιλεγεί κορίτσι, τότε:
·
( ) (
)
2
N K 2 4 36
= + =
·
N(K) 36 18
P(K)
N(
Ω) 38 19
= = =
.
γ.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
(
)
2
x
f x
x x 4
=
+ +
με
[
)
x A 0,
Î = +¥
. Η συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη στο
[
)
0,
+¥
με: