43 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
42
ερωτήματος (
α
) έχουν μέση τιμή
x 5
=
και τυπική απόκλιση
x
s = 2
.
Να
βρεθεί η μέση τιμή
y
και η τυπική απόκλιση
y
s
των τεταγμένων των
σημείων αυτών.
(
Μονάδες 8
)
Απάντηση:
α.
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με:
( )
2
1 1 '
f ' x
x
x
æ ö = = - ç ÷
è ø
.
Έστω
( )
ε : y αx β
= +
η ζητούμενη εφαπτομένη της
f
C
στο σημείο
( )
Λ 1,1
. Τότε
ισχύει:
( )
2
1
α f ' 1
1
1
= = - = -
. Επιπλέον, το σημείο Λ ανήκει στην ευθεία (ε), άρα
είναι:
Λ
Λ
y
α x β 1 1 1 β β 2
= × + Û = - × + Û =
, άρα είναι:
( )
ε : y x 2
= - +
.
β.
Έστω Μ(
x, y
) τυχαίο σημείο της
γραφικής παράστασης της
1
f(x)
x
=
και
ε
1
, ε
2
οι ευθείες που διέρχονται από το
Μ και είναι παράλληλες αντίστοιχα
προς τους άξονες
x
΄
x
και
y
΄
y.
Αφού
f
M C
Î
, ισχύει
( )
1
y f x
x
= =
.
Η περίμετρος του σχηματιζόμενου
ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΟΑΜΒ
είναι: Π
= 2x + 2y = 2(x + y)
(1)
Λόγω της σχέσης
1
y
x
=
, η (1) γράφεται :
1
Π 2 x
x
æ
ö
= +ç
÷
è
ø
.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
1
Π(x) 2 x
x
æ
ö
= +ç
÷
è
ø
με
(
)
x 0,
Î +¥
.
Η συνάρτηση Π είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με:
2
2
2
1 x 1
Π΄(x) 2 1
2
x
x
-
æ
ö
= - =
ç
÷
è
ø
.
Έχουμε διαδοχικά:
·
( )
2
2
2
2
x 1
Π' x =0 2
0 x 1 0 x 1 x 1
x
-
Û = Û - = Û = Û = ±
.