42 / 234
41
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Είναι:
2
x 5
x 5
x 5
3x 15
3(x 5)
3 3 3
κ lim
lim
lim
x 6x 5 (x 1)(x 5)
x 1 5 1 4
®
®
®
-
-
=
=
=
= =
- +
- -
- -
.
β.
Αφού
3
κ
4
=
, το σύνολο
γίνεται:
3 1 5
X , ,
4 2 4
ì
ü
= í
ý
î
þ
.
Επειδή
5
1
4
>
, η τιμή
5
4
αποκλείεται να ισούται με κάποια από τις πιθανότητες
(
)
P A B
Ç
,
( )
P B
, αφού
για την πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου Μ, ισχύει:
( )
0 P M 1
£ £
.
Επιπλέον
,
είναι
A B B
Ç Í
,
άρα
(
) ( )
P A B P B
Ç £
. Εφόσον
(
) ( )
P A B P B
Ç ¹
,
ισχύει:
(
) ( )
P A B P B
Ç <
.
Συνεπώς, είναι:
(
)
1
P A B
2
Ç =
και
( )
3
P B
4
=
.
γ.
(1)
.
Αναζητούμε την
( )
P A
.
Ισχύει από τον προσθετικό νόμο:
(
) ( ) ( ) (
)
( )
( )
P A B P A P B P A B
7
3 1
5
P A
P A .
8
4 2
8
È = + - Ç Û
Û = + - Û =
(2).
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η
(
)
P A B
-
. Ισχύει:
5 1 1
P(A B) P(A) P(A B)
8 2 8
- = - Ç = - =
.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
1
f(x)
, x (0,
)
x
= Î +¥
.
α.
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Λ(1,1).
(
Μονάδες 7
)
β.
Από τυχαίο σημείο
( )
M x,y
της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε
παράλληλες ευθείες προς τους άξονες xx΄ και yy΄, οι οποίες σχηματίζουν με
τους ημιάξονες Οx, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι
συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου
παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη.
(
Μονάδες 10
)
γ.
Οι τετμημένες πέντε διαφορετικών σημείων της εφαπτομένης του
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 200
5