25 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
24
Η πρώτη σχέση απορρίπτεται λόγω του α. ερωτήματος. Από τη δεύτερη
σχέση προκύπτει:
(
) (
) ( ) ( ) (
)
P A P B P A B
P
Α B P Α Β
x
2
+ - Ç
È + Ç
=
=
(
)
P A B
+ Ç
( ) ( )
P A P B
2
2
+
=
·
Επίσης
:
( )
(
)
(
)
2
2
f ' x 0 3 x P(A B)
3 x P(A B)
0
> Û - È - - Ç > Û
(
) (
) (
) (
)
[
] [
]
[
]
(
)
[
]
(
)
x P(A B)
x P(A B)
x P(A B)
x P(A B)
0
x P(A B) x P(A B) x P(A B) x P(A B) 0
P(A B) P(A B) 2x P(A B) P(A B)
0
P(A B) P(A B) 2x P(A) P(B)
0 (1)
Û é - È - - Ç ù × é - È + - Ç ù > Û
ë
û ë
û
Û - È - + Ç × - È + - Ç > Û
Û Ç - È × é - È + Ç ù > Û
ë
û
Û Ç - È × é - + ù >
ë
û
Όμως
:
(
) (
)
A B A B P A B P A B
Ç Í È Þ Ç £ È
και επειδή
:
(
) (
)
P A B P A B
Ç ¹ È
είναι
:
(
) (
)
P A B P A B
Ç < È
.
Έτσι
:
(
) (
)
P A B P A B 0
Ç - È <
.
Οπότε
:
(
)
( ) ( )
( ) ( )
P A P B
(1) 2x P(A) P(B) 0 2x P A P B x
2
+
Û - + < Û < + Û <
·
Όμοια προκύπτει:
( )
( ) ( )
P A P B
f ' x 0 x
2
+
< Û >
.
Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης
f
είναι ο ακόλουθος:
x
( ) ( )
P A P B
2
+
-¥
+¥
( )
f ' x
+
-
f
1
>
Άρα η
f
παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο
( ) ( )
P A P B
x
2
+
=
.
γ
.
Είναι:
(
)
A B P A B 0
Ç =ÆÞ Ç =
(2) και
(
) ( ) ( )
P A B P A P B
È = +
(3). Τότε
ισχύει:
·
(
)
[
] [
]
3
3
f P(A)
P(A) P(A B)
P(A) P(A B)
= - È - - Ç =
(2),(3)
P(A)
=
P(A)
-
[ ]
( )
( )
3
3
3
3
P(B)
P(A)
P B P A
é
ù - -
= - -
ë
û
Ο
.M.