24 / 234
23
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Έστω
Α,Β
δύο
ενδεχόμενα
ενός
δειγματικού
χώρου
Ω
με
( ) ( )
(
)
P A P B 2P A B
+ ¹ Ç
.
Δίνεται ακόμα η συνάρτηση:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
f x x P A B x P A B
= - È - - Ç
,
x
Î
.
α.
Να δείξετε ότι
(
) (
)
P A B P A B
Ç ¹ È
.
(Μονάδες 5)
β.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
( )
f x
παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο
( ) ( )
P A P B
x
2
+
=
.
(
Μονάδες 13
)
γ.
Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι
( )
(
)
( )
(
)
f P A f P B
=
(
Μονάδες 7
)
Απάντηση:
α.
Έστω ότι
(
) (
)
P A B P A B
Ç = È
. Τότε έχουμε διαδοχικά:
( ) ( )
(
)
( ) ( ) (
) (
)
P A P B 2P A B P A P B P A B P A B
+ = Ç Û + - Ç = Ç Û
(
) (
)
P A B P A B
Û È = Ç
,
που είναι άτοπο.
Συνεπώς
,
(
) (
)
P A B P A B
È ¹ Ç
.
β.
Είναι:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
2
2
2
2
'
f ' x x P A B x P A B
3 x P A B x P A B ' 3 x P A B x P A B '
3 x P A B 3 x P A B , x .
é
ù
= - È - - Ç
ë
û
= × - È × - È - × - Ç × - Ç
= × - È - × - Ç Î
Επιπλέον έχουμε:
·
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
f ' x 0 3 x P A B 3 x P A B 0
= Û × - È - × - Ç = Û
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
x P A B x P A B x P A B x P A B
Û - È = - Ç Û - È = - Ç Û
x
Û
(
)
P A B x
- È =
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
P A B
P A B P A B
ή
ή
x P A B x P A B
2x P A B P A B
ì
ü
- Ç ì
È = Ç ü
ï
ï ï
ï
Û
í
ý í
ý
ï
ï ï
ï
- È = - + Ç
= È + Ç
î
þ
î
þ
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 200
2