222 / 234
221
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η συνάρτηση
( )
3
2
f x
αx βx 4, x
= + - Î
, της οποίας η γραφική
παράσταση εφάπτεται στον άξονα
x x
¢
στο σημείο
(
)
A 2,0
-
.
Β1.
Να αποδείξετε ότι
α 1
=
και
β 3
=
.
(Μονάδες 6)
Β2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f
ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
(Μονάδες 7)
Β3.
Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της
f,
στο οποίο η
εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.
(Μονάδες 6)
Β4.
Να υπολογίσετε το όριο:
( )
2
x 2
f x
lim
x 1 5
®-
¢
+ -
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
Β1.
Είναι
f
D
=
, ως πολυωνυμική.
·
Εφόσον το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της
f,
θα ισχύει:
( )
f 2 0
- =
(1)
.
·
Επιπλέον, η γραφική παράσταση της
f
εφάπτεται στον άξονα
x x
¢
(που
έχει εξίσωση
y 0
=
) στο σημείο
(
)
A 2,0
-
. Αυτό σημαίνει πως ο
συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της
f
C
στο Α θα έχει κλίση
ίση με αυτή της ευθείας
y 0
=
. Δηλαδή,
( )
f 2 0
¢ - =
(2)
.
Είναι:
( )
2
f x 3
αx
2βx
¢
= +
,
x
Î
. Από τις σχέσεις
(1)
και
(2)
προκύπτει το
σύστημα:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
2
f 2 0
α 2 β 2 4 0
8
α 4β 4
4
α 4 α 1
12
α 4β 0
f 2 0
3
α 2 2β 2 0
+
ì
ü
ì - = ü
× - + × - - =
- + =
ì
ü
ï
ï ï
ï
Û
Û
Þ = Û =
í
ý í
ý í
ý
- =
¢ - =
î
þ
ï
ï
× - + × - =
ï
ï
î
þ î
þ
Τότε από τη σχέση
8
α 4β 4
- + =
έχουμε:
8
α 4β 4 8 1 4β 4 4β 12 β 3
- + = Û- × + = Û = Û =
.
Ο τύπος της συνάρτησης για
α 1
=
και
β 3
=
γίνεται:
( )
3
2
f x x 3x 4, x
= + - Î
.
ΘΕΜΑ Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015