219 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
218
Απάντηση:
Δ1.
i)
Αφού
ΑΓ x
=
, θα είναι
ΒΓ 100 x
= -
.
Πρέπει
ΑΓ 0 x 0
και
ΒΓ 0 100 x 0 x 100
> Û >
ì
ü
ï
ï
í
ý
ï
ï
> Û - > Û <
î
þ
. Δηλαδή, πρέπει
(
)
x 0,100
Î
.
Επιπλέον το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων είναι ίσο με:
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
E
ΑΓΔΖ ΒΓΗΘ ΑΓ ΒΓ x 100 x
x 100 2 100 x x 2x 200x 10000.
=
+
= + = + - =
= + - ×
× + = - +
Άρα η συνάρτηση που εκφράζει το παραπάνω εμβαδόν είναι η:
( )
2
E x 2x 200x 10000
= - +
,
(
)
x 0,100
Î
.
ii)
Η συνάρτηση Ε είναι παραγωγίσιμη με:
( )
(
)
2
E' x 2x 200x 10000 ' 4x 200
= - +
= -
,
(
)
x 0,100
Î
.
Έχουμε
για κάθε
(
)
x 0,100
Î
:
·
( )
E' x 0 4x 200 0 x 50
= Û - = Û =
·
( )
E' x 0 4x 200 0 x 50
> Û - > Û >
.
Όμως
(
)
x 0,100
Î
, άρα
( )
(
)
E' x
0 x 50,100
> Û Î
.
·
( )
E' x 0 4x 200 0 x 50
< Û - < Û <
.
Όμως
(
)
x 0,100
Î
, άρα
( )
(
)
E' x 0 x 0,50
< Û Î
.
Ακολουθεί ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης Ε:
x
0
50
100
( )
E' x
-
+
E
>
1
Η συνάρτηση Ε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο όταν
x 50
=
, δηλαδή το εμβαδόν
ελαχιστοποιείται όταν
x 50
=
m.
Δ2.
Από την εκφώνηση είναι:
·
ΑΓ x 50
= =
m,
δηλαδή
ν
i
i 1
x 50
=
=
å
·
ν
i
i 1
x
50
x 2
2
2 2
ν 50 ν 25
ν
ν
=
= Û = Û = Û = Û =
å
.
Ο
.
Ε.