179 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
178
Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση:
( )
(
)
3
2
1
f t
t x
300 s
=
-
×
,
Î
t
και
¹
s 0
Δ1.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα
(Μονάδες
5)
Δ2.
Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης
f
γίνεται ελάχιστος
για
=
t x
και να βρείτε την ελάχιστη τιμή του.
(Μονάδες
6)
Δ3.
Αν
( )
¢
=
f 0 1
, να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής
CV
των παραπάνω
παρατηρήσεων και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές
(Μονάδες
8)
Δ4.
Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των αριθμών
( ) ( )
( )
¢
¢
¢
1
2
v
f t ,f t ,...,f t
είναι ίση
με
1
100
(Μονάδες
6)
Απάντηση:
Δ1.
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο
με παράγωγο:
( )
(
) (
) (
)
- ¢
¢
= ×
- - =
³
2
2
2
2
t x
1
f t
3 t x t x
0
300s
100s
για κάθε
Î
t
με το «=» μόνο για
=
t x
Έτσι λοιπόν
f
γνησίως αύξουσα στο
.
Δ2.
( )
(
)
- -
¢¢
=
=
2
2
2 t x t x
f t
100s 50s
για κάθε
Î
t
·
( )
2
t x
f t 0
0 t x 0 t x
50s
-
¢¢
= Û = Û - = Û =
·
( )
2
t x
f t 0
0 t x 0 t x
50s
-
¢¢
> Û > Û - > Û >
·
( )
2
t x
f t 0
0 t x 0 t x
50s
-
¢¢
< Û < Û - < Û <
Ο ρυθμός μεταβολής
της
f
γίνεται ελάχιστος
για
=
t x
με
( )
¢
=
f x 0