171 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
170
Δίνεται η συνάρτηση
( )
= +
3
2
4
f x v x
x
,
( )
Î
x 0,1
όπου ν ακέραιος αριθμός με
>
v 2
Α. α.
Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η
f
είναι γνησίως αύξουσα και
το διάστημα στο οποίο η
f
είναι γνησίως φθίνουσα.
(Μονάδες
8)
β.
Να μελετηθεί η συνάρτηση
f
ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι
( )
³
2
f x 3v
για κάθε
( )
Î
x 0,1
(Μονάδες
5)
Β.
Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο
{
}
W=
1,2,...,
ν
με ισοπίθανα απλά
ενδεχόμενα και το ενδεχόμενό του Α, για το οποίο ισχύει:
( )
( )
(
)
+
=
3
2
2
4
v P A
3v
P A
και
( )
= - -
2
N A v 9v 8
όπου
( )
P A
είναι η πιθανότητα του Α και
( )
N A
το πλήθος των στοιχείων του
Α
α.
Να δείξετε ότι
( )
=
1
P A
5
(Μονάδες
7)
β.
Αν επιπλέον Β είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω με
(
)
Ç =
1
P A B
6
να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου
¢È
A B
(Μονάδες
5)
Απάντηση:
Α. α.
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο
( )
0,1
, με παράγωγο:
( )
( )
-
¢
¢
= -
= - = - =
3 3
3
2
3
3
4
4
3
3
4
8x
8
ν x 8
f x
ν
x ν
ν
x
x
x
x
με
( )
Î
x
0,1
·
( )
3 3
3 3
3 3
3
3
3
ν x 8
8
2
f x 0
0
ν x 8 0 ν x 8 x
x
x
ν
ν
-
¢
= Û = Û - = Û = Û = Û =
·
( )
3 3
3 3
3 3
3
3
3
ν x 8
8
2
f x 0
0
ν x 8 0 ν x 8 x
x
x
ν
ν
-
¢
> Û > Û - > Û > Û > Û >
·
( )
3 3
3 3
3 3
3
3
3
ν x 8
8
2
f x 0
0
ν x 8 0 ν x 8 x
x
x
ν
ν
-
¢
< Û < Û - < Û < Û < Û <
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009