Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Γενικής Παιδείας)

15 / 234

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
14
· ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 19
P B A ' 1 P B A 1 P B P B A 1 .
4 5 20
é - ù = - - = - é - Ç ù = - + =
ë û ë û
· ( ) ( ) 1 4
P A B ' 1 P A B 1 .
5 5
é Ç ù = - Ç = - =
ë û
Συνεπώς, η αντιστοίχιση έχει ως εξής: α « 2, β « 5, γ « 3.
Δίνεται η συνάρτηση ( )
f x συνx ημx = + .
Α. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
f x f '' x 0+ = . (Μονάδες 8)
Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f
στο σημείο ( )
A 0,1 . (Μονάδες 8)
Γ. Να βρείτε την τιμή λ Î για την οποία ισχύει η σχέση:
π π
λf ' 2f 2
2 2
æ ö æ ö- =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. (Μονάδες 9)
Απάντηση:
Α. Η δοθείσα συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το
f
D = και είναι παραγωγίσιμη
δύο φορές στο με:
· ( ) ( )
f ' x συνx ημx ' ημx συνx = + = - + , x Î .
· ( ) ( )
f '' x ημx συνx ' συνx ημx = - + = - - , xÎ .
Τότε για κάθε x Î θα ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )
+ = + + - - = + - - =
f x f '' x συνx ημx συνx ημx συνx ημx συνx ημx 0 .
Β. Έστω ( )ε : y αx β= + η ζητούμενη εφαπτομένη της
f C στο σημείο ( )
A 0,1 .
Τότε:
· ( )
α f ' 0 ημ0 συν0 1= = - + =
· ( )
Α εÎ , άρα αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Α στην ( )ε ,
έχουμε: 1 1 0 β β 1 = × + Û = .
Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η: ( )ε : y x 1= + .
ΘΕΜΑ Β ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2001