143 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
142
β)
Είναι:
( )
(
)
¢
¢
= - = -
2
α
f x
αlnx βx
2βx
x
για
>
x 0
.
γ)
Το σημείο Α(1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της
f
άρα
( )
=
= Û - = Û- = Û = -
ln1 0
f 1 1
αln1 β 1 β 1 β 1
.
Επίσης, αφού
(
)
Î = -
Α
Α ε : y 3x 2
έχω ότι
( )
=-
¢
= Û - = Û + = Û =
β 1
f 1 3
α 2β 3 α 2 3 α 1
.
δ)
Για
=
α 1
και
= -
β 1
είναι
( )
¢
= +
1
f x
2x
x
με
>
x 0
Έτσι
( )
®
®
é
ù
æ
ö
æ
ö
¢é
ù ×
=
+ ×
= + × = × =
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
è
ø
ë
û
3
3
x 2
x 2
1
1
9
lim f x x lim 2x x
4 8 8 36
x
2
2
.
Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 50% των παρατηρήσεων
έχουν τιμή
μεγαλύτερη του 20. Το 81,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο
διάστημα (16,22) με άκρα του διαστήματος χαρακτηριστικές τιμές της
κανονικής κατανομής
± ± ±
x 3s, x 2s, x s, x
.
α
.
Να δείξετε ότι
=
x 20
και
=
s 2
(Μονάδες
10)
β.
Να βρείτε το α
*
Î
, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα
(
)
x
αs,x αs
- +
ανήκει
το 95% περίπου των παρατηρήσεων.
(Μονάδες
5)
γ.
Αν
R
είναι το εύρος της κατανομής, να βρείτε την ελάχιστη τιμή
της
συνάρτησης
( )
(
)
= - + +
2
R
f x x x 4 x 9s
2
(Μονάδες
10)
Απάντηση:
α)
Αφού το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 20
συμπεραίνουμε ότι η διάμεσος είναι
=
δ 20
και επειδή η κατανομή είναι
κανονική είναι:
= Û =
x
δ x 20
.
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005