121 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
120
Β
4.
Να εξετάσετε εάν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα.
(Μονάδες
6)
Απάντηση:
Β
1.
Ισχύει
:
(
) ( ) (
)
A B A A B P A B P A P A B
Ç Í Í È Þ Ç £
£ È
(1).
Οι πιθανότητες
(
) ( ) (
)
P A B ,P A ,P A B
Ç
È
είναι λύσεις της εξίσωσης:
(
)
(
)
2
2
3x 1 8x 6x 1 0 3x 1 0
ή 8x 6x 1 0
-
- + = Û - =
- + =
1,2
1
6 4 6 2
x
ή Δ 36 32 4, x
3
16 16
±
±
Û =
= - = =
= Û
1
1
1
x
ή x ή x
3
2
4
Û =
=
=
.
Οπότε σύμφωνα με τη σχέση (1) ισχύει
(
)
( )
(
)
1
1
1
P A B ,P A ,P A B
4
3
2
Ç =
=
È =
.
Δόθηκε διευκρίνιση ότι οι πιθανότητες
( )
P A
,
(
)
P A B
Ç
και
(
)
P A B
È
είναι
διαφορετικές μεταξύ τους.
Β2.
Έχουμε:
(
) (
) (
) ( )
(
)
( )
( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( ) (
)
( ) (
)
P A B P A B P B A P B P B A
P B P A P B P B A P B P A P B P B A
1 1 1
P A P B A
3 2 6
¢
¢
¢
- = Ç = - = - Ç =
= - é
+ - È ù = - - + È =
ë
û
= - + È = - + =
Επιπλέον
( )
(
)
(
)
(
)
1 3
P
Δ P Α Β 1 P Α Β 1
4 4
¢
= Ç = - Ç = - =
.
Β3.
Έχουμε:
( )
(
) (
)
(
)
P
Ε P Α Β Β Α
= - È -
Εφόσον τα ενδεχόμενα
A B
-
και
B A
-
είναι ασυμβίβαστα, η τελευταία σχέση,
από τον απλό προσθετικό νόμο, γίνεται:
( ) (
) (
) ( ) (
) ( ) (
)
( ) ( ) (
)
(
) (
) (
)
P
Ε P Α Β P Β Α P Α P B A P Β P B A
1 1 1
P
Α P Β P B A P B A P A Β P B A
.
2 4 4
= - + - = - Ç + - Ç =
= é
+ - Ç ù - Ç = È - Ç = - =
ë
û
Β4.
Θα λύσουμε την εξίσωση
2
9x 3x 2 0
- - =
. Είναι:
1,2
3 81 3 9
Δ 6 72 81, x
18 18
±
±
= + =
=
=