118 / 234
117
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
·
Οι παρατηρήσεις
1 2
15
5 x x ... x 9
= < < < =
βρίσκονται στο διάστημα
[
)
5,10
στο οποίο η συνάρτηση Ε είναι γνησίως φθίνουσα, συνεπώς θα
είναι:
( ) ( )
( )
E
1 2
15
1
2
15
1
2
15
x x ... x E x E x ... E x
y y ... y
< < < Û > > > Û > > >
2
·
Τότε το εύρος των παρατηρήσεων είναι ίσο με:
(
) ( ) ( ) ( )
1
15
1
15
R y y E x E x E 5 E 9 125 109 16
= - = - = - = - =
Επομένως έχουμε διαδοχικά για
i 1,2,...,15
=
:
2
2
i
i
i
i
i
i
i
y 4x 9R 1 x 10x 100 4x 9 16 1 x 14x 45 0
> - + + Û- + + > - + × + Û- + - >
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
2
f x x 14x 45
= - + -
. Οι ρίζες του τριωνύμου
2
x 14x 45
- + -
είναι 5 και 9. Οι λύσεις της ανίσωσης
( )
f x 0
>
προκύπτουν από
τον παρακάτω πίνακα προσήμων:
x
5
9
2
x 14x 45
- + -
+
Επομένως η ανίσωση
( )
f x 0
>
αληθεύει όταν
( )
x 5,9
Î
. Συνεπώς η ανίσωση
2
i
i
x 14x 45 0
- + - >
αληθεύει όταν
( )
i
x 5,9
Î
.
Τότε
(
) (
)
(
)
{
}
2 2 2
3 3 3
14 14 14
B A x , y ,A x , y ,....,A x , y
=
και
( )
( )
(
)
N B 13
P B
N
Ω 15
= =
.
Α1.
Αν οι συναρτήσεις
f, g
είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι
( ) ( )
(
)
( ) ( )
f x g x f x g x , x
¢
¢
¢
+
= +
Î
(
Μονάδες 7
)
Α2.
Πότε λέμε ότι μια
συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη
στο σημείο
0
x
του
πεδίου ορισμού της;
(
Μονάδες 4
)
Α3.
Αν
1 2
ν
x ,x ,...x
είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής
Χ ενός
δείγματος μεγέθους ν και
1 2
ν
w ,w ,...,w
είναι οι αντίστοιχοι
συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθμικό μέσο της
μεταβλητής Χ.
(Μονάδες 4)
ΘΕΜΑ Α
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2015