127 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
126
Δ1.
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συναρτηση
του
x,
δίνεται από τον τύπο
( )
2
f x x 100 x
= ×
-
,
0 x 100
< <
.
(Μονάδες 4)
Δ2.
Να βρείτε την τιμή του
x
για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου
ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο. Για την τιμή αυτήν του
x,
δείξτε ότι το ορθογώνιο
ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.
(Μονάδες 5)
Δ3.
Να υπολογίσετε το όριο
(
)
x 0
f 1 x 99
lim
98 x
®
+ -
×
(Μονάδες 8)
Δ4.
Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός
δειγματικού χώρου Ω.
Αν
(
)
P A B 0
- >
, να
δείξετε ότι
(
)
( )
( )
(
)
2
2
P A B
P A
f
f
100 P A
100 P A B
æ
ö æ
ö
-
ç
÷ ç
÷
£
ç
÷ ç
÷
-
- -
è
ø è
ø
.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
Δ1.
Η εγγεγραμμένη γωνία
o
ˆ
A 90
=
βαίνει στο τόξο
ΒΔ
, συνεπώς
o
ΒΔ 180
=
,
δηλαδή η ΒΔ είναι διάμετρος του κύκλου.
Θα εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο
Θεώρημα στο τρίγωνο
ΑΒΔ
D
, απ’ όπου προκύπτει:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ΒΔ ΑΔ ΑΒ 2ρ ΑΔ x 100 ΑΔ x
ΑΔ 100 x
ΑΔ 100 x
= + Û = + Û = + Û
Û = - Û = -
1
Όμως
0 x 2
ρ 0 x 10
< < Û < <
, αφού
( )
x
ΑΒ
=
και η ΑΒ είναι χορδή του κύκλου.
Τότε το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου θα είναι:
( ) ( )
2
E
ΑΔ ΑΒ x 100 x
= ×
= ×
-
,
συνεπώς η συνάρτηση που εκφράζει το παραπάνω εμβαδόν θα είναι η
( )
2
f x x 100 x
= ×
-
, με
0 x 10
< <
.
Δ2
.
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη με
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
f ' x x 100 x '
100 x x 100 x '
1
100 x x
100 x '
2 100 x
1
100 x x
2
= ×
- = - + ×
- =
= - + ×
×
- =
-
= - + ×
2
2
100 x
× -
-
(
)
x
=