97 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
96
Συνεπώς από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι:
( )
x
ημx
lim 0
f x
®+¥
=
Αντίστοιχα:
( )
( )
( )
( )
( )
συνx 1
1 συνx 1
f x f x
f x f x f x
£ Û- £ £
άρα και πάλι από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι:
( )
x
συνx
lim 0
f x
®+¥
=
Άρα:
( )
( )
( )
x
x
x
ημx συνx
ημx
συνx
lim
lim lim 0
f x
f x
f x
®+¥
®+¥
®+¥
+
=
+
=
Δ4.
Στο ολοκλήρωμα
( )
π
e
1
f lnx
dx
x
ò
θέτοντας
lnx u
=
, είναι
·
1
dx du
x
=
·
Για
x 1
=
,
u ln1 0
= =
·
Για
π
x e
=
,
π
u lne π
= =
Οπότε:
( )
( )
π
e
π
1
0
f lnx
dx f u du
x
=
ò
ò
Όμως
:
( ) ( ) ( )
( )
f
0 x π f 0 f x f π
0 f x π
£ £ Û £ £ Û
Û £ £
1
·
( )
f x 0
³
, όμως η
f
δεν είναι παντού 0, άρα
( )
π
0
f x dx 0
>
ò
.
·
( )
π f x 0
- ³
. Για τη συνάρτηση
( )
( )
g x π f x
= -
γνωρίζουμε ότι
( )
g x 0
³
και η
g
δεν είναι παντού 0 και συνεχής, αφού σε διαφορετική περίπτωση
θα είναι:
( )
g x 0 για καθε x
=
Î
( )
π f x 0 για κάθε x
Û - =
Î
( )
f x π για κάθε x , άτοπο
Û =
Î