96 / 368
95
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Όμως για κάθε
x
Î
:
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
f x
x
e x, παρ/μη ως πράξεις πρ/μων
f x
x
f f x e ,παρ/μη ως πράξεις πρ/μων
f x
x
f x
x
e x f f x e
e x f f x e
f x e 1 f f x f x e
+
+
+ =
+
Þ
¢
¢
+ =
+ Þ
¢
¢
¢
×
+ =
×
+
Η τελευταία
ισότητα για
0
x x
=
γίνεται:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
x
0
f x
x
0
0
0
f x
x
x
e : 1 1
x
1
0
0
f x e 1 f f x f x e
0 e 1 f 0 0 e e 1
e e
x 0 f 0 0, άτοπο αφού f 0 1
-
¢
¢
¢
×
+ =
×
+ Û
¢
×
+ = × + Û = Û
¢
¢
= Û = Þ =
=
Συνεπώς, η συνάρτηση
f
δεν παρουσιάζει ακρότατα στο
.
β)
Αφού η
f
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, η συνάρτηση
f
¢
είναι παραγωγί-
σιμη, άρα και συνεχής στο . Επιπλέον από το προηγούμενο ερώτημα έ-
χουμε ότι
( )
f x 0
¢
¹
για κάθε
x
Î
, άρα η
f
¢
διατηρεί πρόσημο. Όμως
( )
f 0 1 0
¢
= >
, άρα
( )
f x 0
¢
>
για κάθε
x
Î
συνεπώς η συνάρτηση
f
θα είναι
γνησίως αύξουσα στο
.
Δ3.
Η
f
είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο , άρα
( )
( )
( )
(
)
x
x
f
lim f x , lim f x
®-¥
®+¥
=
=
,
άρα
( )
x
lim f x
®+¥
= +¥
Ακόμα έχουμε ότι:
( )
( )
( ) ( ) ( )
ημx 1
1 ημx 1
f x f x
f x f x f x
£ Û- £ £
( )
x
1
lim 0
f x
®+¥
=
και
( )
x
1
lim 0
f x
®+¥
- =
διότι
( )
x
lim f x
®+¥
= +¥
.