92 / 368
91
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Γ2.
Είναι
( )
(
)
( )
2
2
2
2
x
2
x
2
f x e x 1 f x e x 1
= - - Û = - -
( )
2x
2
2
e x 1 0
x
2
f x e x 1
- - ³
Û = - -
για κάθε
x
Î
Όμως
( )
( )
2
x
2
f x 0 f x 0 e x 1 0 x 0
= Û = Û - - = Û =
άρα η
f
έχει μοναδική
ρίζα την
1
x 0
=
Στο διάστημα
(
)
1
Δ
,0
= -¥
η
f
δεν έχει ρίζες και αφού είναι συνεχής διατηρεί
σταθερό πρόσημο
·
Αν
( )
f x 0
<
τότε
( )
(
)
2
2
x
2
x
2
f x
e x 1 e x 1
= - - - = - + +
,
(
)
x
,0
Î -¥
·
Αν
( )
f x 0
>
τότε
( )
2
x
2
f x e x 1
= - -
,
(
)
x
,0
Î -¥
Στο διάστημα
(
)
2
Δ 0,
= +¥
η
f
δεν έχει ρίζες και αφού είναι συνεχής διατηρεί
σταθερό πρόσημο
·
Αν
( )
f x 0
<
τότε
( )
(
)
2
2
x
2
x
2
f x
e x 1 e x 1
= - - - = - + +
,
(
)
x 0,
Î +¥
·
Αν
( )
f x 0
>
τότε
( )
2
x
2
f x e x 1
= - -
,
(
)
x 0,
Î +¥
Τελικά οι πιθανοί τύποι της
f
είναι οι παρακάτω
( )
( )
2
2
2
x
2
x
2
x
2
e x 1 , x 0
f x 0 , x 0 f x e x 1, x
e x 1 , x 0
ì - - <
ï
=
= Û = - - Î
í
ï
- - >
î
( )
( )
2
2
2
x
2
x
2
x
2
e x 1 , x 0
f x 0 , x 0 f x e x 1, x
e x 1 , x 0
ì - + + <
ï
=
= Û = - + + Î
í
ï
- + + >
î
( )
2
2
x
2
x
2
e x 1 , x 0
f x 0 , x 0
e x 1 , x 0
ì - -
<
ï
=
=
í
ï
- + + >
î
,
( )
2
2
x
2
x
2
e x 1 , x 0
f x 0 , x 0
e x 1 , x 0
ì - + + <
ï
=
=
í
ï
- -
>
î