94 / 368
93
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Για
(
)
( )
g
x 0 ημx x g ημx g x
> Û < Û <
1
(
) (
)
(
) ( )
f ημx 3 f ημx f x 3 f x
Û + -
< + -
Άρα μοναδική λύση η
x 0
=
.
Δίνεται συνάρτηση
f
ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο
!
, με συ-
νεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι:
·
( ) ( )
(
)
π
0
f x f x ημx dx π
¢+
=
ò
·
( )
( )
x 0
f x
f
και lim 1
ημx
®
=
=
·
( )
( )
(
)
f x
x
e x f f x e
+ =
+
για κάθε
x
Î
.
Δ1.
Να δείξετε ότι
( )
f π π
=
(μονάδες 4) και
( )
f 0 1
¢
=
(μονάδες 3).
Μονάδες 7
Δ2.
α)
Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο
!
.
(μονάδες 4)
β)
Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
!
. (
μονάδες 2)
Μονάδες 6
Δ3.
Να βρείτε το
( )
x
ημx συνx
lim
f x
®+¥
+
Μονάδες 6
Δ4.
Να δείξετε ότι
( )
π
e
2
1
f lnx
0
dx π
x
<
<
ò
Μονάδες 6
Απάντηση
Δ1.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( )
f x
g x
ημx
=
, με
x
σε περιοχή του 0.
Από τα δεδομένα είναι:
( )
x 0
limg x 1
®
=
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016