95 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
94
Για κάθε
x
κοντά στο 0, έχουμε:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
x 0
x 0
f x
g x
f x g x ημx limf x lim g x ημx
ημx
®
®
= Û = ×
Þ = é
×
ù
ë
û
Όμως
( )
x 0
limg x 1
®
=
και
( )
x 0
lim ημx 0
®
=
.
Επιπλέον
f
παραγωγίσιμη στο , άρα και συνεχής στο 0, που σημαίνει ότι
( ) ( )
x 0
limf x f 0
®
=
Τότε η παραπάνω ισότητα γίνεται:
( )
( )
x 0
x 0
f 0 limg x limημx
®
®
=
×
( )
( )
f 0 1 0 f 0 0
Û = × Û =
Είναι
( )
( ) ( )
( )
( )
x 0
x 0
x 0
f x f 0
f x
g x ημx
f 0 lim
lim lim
x 0
x
x
®
®
®
-
×
¢
=
=
=
-
( )
( )
x 0
x 0
x 0
ημx
ημx
lim g x
limg x lim 1 1 1
x
x
®
®
®
é
ù
=
×
=
×
= × =
ê
ú
ë
û
Επιπλέον,
( )
( )
(
)
( )
( )
π
π
π
0
0
0
f x f x ημx dx π f x ημxdx f x ημx dx π
¢¢
¢¢
+
= Û ×
+
×
=
ò
ò
ò
( )
( )
π
π
0
0
συνx f x
συνx f x dx
¢
Û é- ×
ù +
×
ë
û
ò
( )
( )
π
π
0
0
f x ημx
f x συνx dx
¢
¢
+ é
×
ù -
×
ë
û
ò
π
=
( )
( )
συνπ f π συν0 f 0
Û - ×
+ ×
( )
( )
( )
f π ημπ f 0 ημ0 π f π π
é
ù ¢
¢
+ ×
- ×
= Û =
ë
û
Δ2.α)
Έστω ότι η συνάρτηση
f
παρουσιάζει στο
0
x
Î
ακρότατο. Εφόσον
·
f
παραγωγίσιμη στο
0
x
·
Το
0
x
είναι εσωτερικό σημείο του
Από θεώρημα
Fermat
προκύπτει:
( )
0
f x 0
¢
=
( )
1