103 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
102
Β5.
Όπως γνωρίζουμε, η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο
0
x
του πε-
δίου ορισμού της είναι ίση με το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης
στο
0
x
.
Συνεπώς είναι
( )
0
f x 0
¢
=
αν η εφαπτομένη σ’αυτό το σημείο είναι πα-
ράλληλη στον
'
x x
.
Από τη γραφική παράσταση της δοσμένης συνάρτησης συμπεραίνουμε ότι
( ) ( ) ( )
f 4 f 6 f 8 0
¢
¢
¢
= = =
αφού στα σημεία
( ) ( ) ( )
4,4 , 6,0 , 8,5
η
f
C
δέχεται
οριζόντιες εφαπτομένες.
Δίνεται η συνάρτηση
f :
®
με
( )
3
f x x
=
.
Γ1.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι συνάρτηση 1
-
1 (μονάδες 2) και να βρείτε την
αντίστροφη συνάρτηση
1
f
-
(μονάδες 4).
Μονάδες 6
Γ2.
Να αποδείξετε ότι για κάθε
x 0
>
ισχύει:
(
)
3
1
f
x f x x
6
æ
ö
hm > -ç
÷
è
ø
.
Μονάδες 9
Γ3.
Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης
3
y x
=
,
x 0
³
με
( )
x x t
=
και
( )
y y t
=
. Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός
μεταβολής της τεταγμένης
( )
y t
του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής
της τετμημένης
( )
x t
, αν υποτεθεί ότι
( )
x t 0
¢
>
για κάθε
t 0
>
.
Μονάδες 4
Γ4.
Αν
g :
®
είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ο-
λοκλήρωμα
( ) ( )
f x g x dx
-
ò
1
1
.
Μονάδες 6
A
πάντηση
Γ1.
Η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
διότι είναι παραγωγίσιμη με
( )
2
f x 3x 0
¢
= ³
για κάθε
x
Î
με την ισότητα να ισχύει μόνο για
x 0
=
επο-
μένως είναι και ‘’1
-
1’’
.
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016