108 / 368
107
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επίσης για
( )
x 0,1
Î
είναι
x 1 lnx ln1 lnx 0 lnx 0 1 lnx 1 0
< Û < Û < Û - > Û - > >
Δηλαδή
( )
2
1 lnx
f x
0
x
-
¢
=
>
για
( )
x 0,1
Î
Αφού
( )
f x 0
¢
¹
για
( )
x 0,1
Î
δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία στο διάστημα
αυτό .
Στο διάστημα
(
)
1,
+¥
επίσης η
f
είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο
( )
( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
x 1
lnx
lnx x 1 lnx x 1
lnx
x 1 xlnx
x
f x
x 1
x 1
x 1
x x 1
-
-
¢
¢
¢
- - -
- -
æ
ö
¢
=
=
=
=
ç
÷-è
ø
-
-
-
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
g x x 1 xlnx
= - -
, με
x 1
³
Είναι
( ) (
)
( )
( )
g x x 1 xlnx 1 x lnx x lnx
¢
¢
¢
¢
= - - = -
-
1
1 lnx x 1 lnx 1 lnx
x
= - - × = - - = -
.
Όμως για
x 1 lnx ln1 lnx 0 lnx 0
> Û > Û > Û - <
και επιπλέον η
g
είναι
συνεχής στο
[
)
1,
+¥
,οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο
[
)
1,
+¥
.
Οπότε
( ) ( )
(
)
( )
2
x 1 xlnx
x 1 g x g 1 x 1 xlnx 0
0 f x 0
x x 1
- -
¢
> Û < Û - - < Û < Û <
-
Εφόσον
( )
f x 0
¢
¹
για κάθε
(
)
x 1,
Î +¥
,
δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία ούτε
σ’αυτό το διάστημα.
Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης
f
στο
0
x 1
=
.
Είναι
( ) ( )
(
)
2
x 1
x 1
x 1
x 1
lnx
1 1
f x f 1
lnx
lnx
x
lim
lim
lim
lim
x 1
x 1
x x 1
x x
-
-
-
-
®
®
®
®
+ -
-
=
=
=
-
-
-
-