112 / 368
111
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
(
)
x 1
x x 1
>
Û -
( ) ( )
F x F 1
x 1
-
-
(
)
x x 1
> -
( )
( )
(
)
2
F x F x
x x 1
-
-
( )
( )
( )
( )
2
xF x xF 1 F x F x
Û - > -
(
) ( )
( )
( )
2
x 1 F x F x xF 1
Û +
> +
αποδείχθηκε το ζητούμενο.
Α1.
Έστω μια συνάρτηση
f,
η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν
( )
f x 0
¢
>
σε κάθε εσωτερικό σημείο
x
του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η
f
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
Μονάδες 7
Α2.
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Κάθε συνάρτηση
f
, η οποία είναι συνεχής στο
0
x
, είναι παραγωγίσιμη
στο σημείο αυτό.»
α.
Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό
σας το γράμμα
Α
αν είναι αληθής, ή το γράμμα
Ψ
αν είναι ψευδής.
(Μονάδα 1)
β.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α.
(Μονάδες 3)
Μονάδες 4
Α3.
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση
f
είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα
[ ]
α,β
;
Μονάδες 4
Α4
. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετρά-
διό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη
Σωστό
αν η πρόταση είναι σωστή, ή
Λάθος
αν η πρόταση είναι λανθα-
σμένη.
α)
Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων
f :
®
και
g :
®
, αν
( )
0
x x
lim f x 0
®
=
και
( )
0
x x
lim g x
®
= +¥
, τότε
( ) ( )
0
x x
lim f x g x 0
®
é ×
ù =
ë
û
.
ΘΕΜΑ Α
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017