111 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
110
Είναι
( )
( )
0
0
0
0
1
1
1
1
2
x
x
x
x
lnx
ln x
E f x dx f x dx
dx
x
x
2
é
ù
æ
ö
=
=
=
= + ê
ú
ç
÷
è
ø
ë
û
ò
ò
ò
+1
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
ln x
ln x
2 ln x 2x
ln 1
1
x 1
x
2
2
2
2
æ
ö
- -
= + -
+ = - - =
ç
÷
è
ø
Όμως
0
x
ρίζα της εξίσωσης
( )
f x 0
=
στο διάστημα
( )
0,1
οπότε
( )
0
0
0
0
0
0
0
lnx
lnx
f x 0
1 0
1 lnx x
x
x
= Û + = Û = - Û = -
Έτσι
( )
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2 x 2x
2 ln x 2x
x 2x 2
E
2
2
2
- - -
- -
- - +
=
=
=
Δ4.
Έστω
F
μια παράγουσα της
f
στο
[
)
1,
+¥
Για κάθε
x 1
>
ισχύει
2
x 1 x x
> Þ >
·
F
συνεχής στα διαστήματα
[ ]
2
1,x , x,x
é ù ë û
(αφού είναι παραγωγίσιμη σε
αυτά)
·
F
παραγωγίσιμη στα διαστήματα
( )
(
)
2
1,x , x,x
με
( ) ( )
F x f x
¢
=
Επομένως από το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού προκύ-
πτει ότι υπάρχουν
( )
1
ξ 1,x
Î
και
(
)
2
2
ξ x,x
Î
τέτοια ώστε
( ) ( ) ( )
1
F x F 1
F ξ
x 1
-
¢
=
-
και
( )
( )
( )
2
2
2
F x F x
F ξ
x x
-
¢
=
-
Όμως
2
1
2
1 ξ x ξ x
< < < <
και η συνάρτηση
F f
¢ =
είναι γνησίως φθίνουσα
στο
[
)
1,
+¥
όπως διαπιστώσαμε στο προηγούμενο ερώτημα.
Επομένως :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
'
2
F
1 2
1
2
2
F x F x
F x F 1
ξ ξ F ξ F ξ
x 1
x x
-
-
¢
¢
< Û > Û >
-
-