115 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
114
Β2.
Είναι
( )
(
)
( )
2
1 x x
x
1
x
h x ln
0, για κάθε x 0,1
x
1 x
x 1 x
1 x
- +
¢
æ
ö
¢
=
=
=
>
Î
ç
÷-
-
è
ø
-
Οπότε
h
γνησίως αύξουσα στο
( )
0,1
άρα 1
-
1 άρα αντιστρέφεται.
Είναι
( )
(
)
( )
( )
(
)
x 0
x 1
h 0,1 lim h x , limh x
+
-
®
®
=
=
h
Αφού
( )
x
θ
1 x
x 0
x 0
θ 0 θ 0
x
lim h x lim ln
lim lnθ
1 x
+
+
+
+
=
-
®
®
® ®
=
=
= -¥
-
και
( )
x
θ
1 x
θ θ
x 1
x 1
x
lim h x lim ln
lim lnθ
1 x
-
-
=
-
®+¥ ®+¥
®
®
=
=
= +¥
-
Οπότε
( )
y
y
y
x
x
y h x y ln
e x e xe
1 x 1 x
= Û =
Û = Û = -
- -
(
)
y
y
y
y
y
y
e
x xe e x 1 e e x
1 e
Û + = Û + = Û =
+
Άρα
( )
x
1
x
e
h x
, x
1 e
-
=
Î
+
h
.
Β3.
Έχουμε
( )
(
)
(
)
(
)
x
x
2x
x
2
2
x
x
e 1 e e
e
φ x
0
1 e
1 e
+ -
¢
=
=
>
+
+
άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο
h
και δεν έχει ακρότατα.
Επιπλέον
·
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
x
x
x x x
x
x
x
2x
2x
4
3
3
x
x
x
e 1 e 2 1 e e e
e 1 e
e e 2e
φ x
1 e
1 e
1 e
+ - +
-
+ -
¢¢
=
=
=
+
+
+
,
x
Î
h
·
( )
(
)
(
)
x
x
x
x
3
x
e 1 e
φ x 0
0 1 e 0 e 1 x 0
1 e
-
¢¢
= Û = Û - = Û = Û =
+