110 / 368
109
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Στο διάστημα
( )
1
Δ 0,1
=
η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα και συ-
νεχής με
( )
( )
( )
(
)
(
)
1
x 0
x 1
f Δ lim f x , lim f x
,1
+
-
®
®
=
= -¥
Αφού
( )
Δ1 ερώτημα
x 0
lim f x
+
®
= -¥
και
( )
x 1
x 1
lnx
ln1
lim f x lim 1
1 1
x
1
-
-
®
®
æ
ö
=
+ = + =
ç
÷
è
ø
.
Η
( )
f x 0
=
έχει μία ρίζα στο
( )
1
Δ 0,1
=
εφόσον
( ) (
)
1
0 f Δ
,1
Î = -¥
και μά-
λιστα είναι μοναδική γιατί η συνάρτηση
f
είναι
1-1
σ’ αυτό.
Στο διάστημα
[
)
2
Δ 1,
= +¥
η συνάρτηση
f
είναι γνησίως φθίνουσα και συ-
νεχής, οπότε
[
)
(
)
( ) ( )
(
(
]
x
f 1,
lim f x ,f 1 0,1
®+¥
ù
+¥ =
=
û
διότι
( )
( )
(
)
x
x
x
x
x
D.L.H.
1
lnx
lnx
1
x
lim f x lim lim
lim lim 0
x 1
1
x
x 1
+¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
¢
=
=
= =
-
¢ -
=
και
( )
f 1 1
=
Η εξίσωση
( )
f x 0
=
δεν έχει ρίζα στο διάστημα αυτό αφού
( ) (
]
2
0 f Δ 0,1
Ï =
άρα η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει μοναδική λύση στο
(
)
0,
+¥
και συγκεκριμένα στο διάστημα
( )
1
Δ 0,1
=
.
ii)
Στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει μοναδική
ρίζα
0
x
,
με
( )
0
x 0,1
Î
.
Επίσης
f
συνεχής στο
(
)
0,
+¥
και επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι
( )
0
1
x
E f x dx
=
ò
αφού
( )
0
x 0,1
Î
.
Για κάθε
(
)
0
x x ,1
Î
ισχύει:
( ) ( ) ( )
( )
f
0
0
0 x x 1 f x f x f 1 0 f x 1
< £ £ Û £ £ Û £ £
<