107 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
106
2
0
0
x 2x 2
E
2
- - +
=
(μονάδες 4)
Μονάδες 7
Δ4.
Αν
F
είναι μια παράγουσα της
f
στο
[
)
1,
+¥
να αποδείξετε ότι
(
) ( )
( )
( )
2
x 1 F x xF 1 F x
+
> +
, για κάθε
x 1
>
.
Μονάδες 5
A
πάντηση
Δ1.
Η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στα διαστήματα
( )
0,1
και
(
)
1,
+¥
ως πράξεις
μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Θα εξετάσουμε τη συνέχεια στο
0
x 1
=
Είναι :
x 1
lnx
lim 1 1
x
-
®
æ
ö+ =
ç
÷
è
ø
και
0
0
D.L.H.
x 1
x 1
lnx
1
lim
lim 1
x 1
x
+
+
®
®
æ
ö =
=
ç
÷-è
ø
A
φού
( )
( )
( )
( )
x 1
x 1
x 1
lim f x lim f x limf x 1 f 1
-
+
®
®
®
=
=
= =
η συνάρτηση
f
είναι συνεχής
στο
0
x 1
=
και επομένως στο
(
)
0,
+¥
.
Είναι
(
)
f
D 0,
= +¥
και η συνάρτηση
f
είναι συνεχής σ’αυτό, οπότε η μόνη
πιθανή θέση για κατακόρυφη ασύμπτωτη είναι το
0
x 0
=
.
Είναι :
( )
x 0
x 0
x 0
lnx
1
lim f x lim
lim lnx 1
x
x
1
+
+
+
®
®
®
æ
ö
æ
ö
=
=
×
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
+
Όμως
x 0
1
lim
x
+
®
= +¥
και
x 0
lim lnx
+
®
= -¥
Κατά συνέπεια
( )
x 0
lim f x
+
®
= -¥
Άρα η συνάρτηση
f
έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία
x 0
=
.
Δ2.
Στο διάστημα
( )
0,1
η
f
είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο
( )
( )
( )
2
2
lnx x lnx x
lnx
1 lnx
f x
1
x
x
x
¢
¢
¢
-
-
æ
ö
¢
=
=
=
ç
÷
è
ø
+
.