Μαθηματικά Γ' Λυκείου

105 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
104
ισχύει για x 0= επομένως
x x x - < hm < για κάθε x 0> ) .
Επίσης g¢ συνεχής στο [ )
0, +¥ και άρα η g ¢ είναι γνησίως αύξουσα στο
[ )
0, +¥ .
Εφόσον g¢ είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και επειδή επιπλέον ( )
g 0 0¢ =
θα είναι για κάθε ( ) ( ) ( )
x 0 g x g 0 g x 0¢ ¢ ¢ > Û > Û > .
Επιπλέον η g είναι συνεχής στο [ )
0, +¥ και άρα είναι γνησίως αύξουσα στο
[ )
0, +¥ .
Θα ισχύει :
( ) ( ) ( ) 3 1
x 0 g x g 0 g x 0 x x x 0
6
> Û > Û > Ûhm - + >
Γ3. Έχουμε ( ) ( )
3
y t x t= με t 0³ και ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
y t x t 3x t x t ¢
¢ ¢ = = .
Έστω ότι για 0 t t= είναι ( ) ( )0 0 y t x t ¢ ¢=
Διαδοχικά έχουμε :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0 0 y t x t
2 2
0 0 0 0 0 0
y t 3x t x t x t 3x t x t
¢ ¢=
¢ ¢ ¢ ¢ = Û = Û
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0 0 0 x t 3x t x t 0 x t 1 3x t 0 ¢ ¢ ¢ é ù Û - = Û - =
ë û
Eπειδή ( )
x t 0¢ > για κάθε t 0³ θα είναι
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0
1 1 3
1 3x t 0 x t x t
3 3 3
- = Û = Û = ± = ±
Όμως ( )
x t 0> και έτσι ( )0
3
x t
3
= και ( ) ( )
3
3
0 0
3 3 3 3
y t x t
3 27 9
æ ö
= = = =
ç ÷ ç ÷
è ø
Επομένως
3 3
M ,
3 9
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
το ζητούμενο σημείο.
Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση h: ® με ( ) ( ) ( )
h x f x g x= × .
Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ά
3 3
h x f x g x x g x x g x h x
rtia
- = - × - = - × = - = - για κάθε
xÎ
Επομένως h περιττή συνάρτηση στο .